在高中数学的学习过程中，指数与指数函数是一个非常重要的知识点。这部分内容不仅在理论上有深刻的意义，而且在实际应用中也具有广泛的价值。为了帮助同学们更好地掌握这一部分的知识点，我们整理了一些练习题，并附上了详细的答案解析。
一、基础概念回顾
1. 指数的定义：如果 \(a\) 是一个正实数，\(n\) 是一个整数，则 \(a^n\) 表示将 \(a\) 自身相乘 \(n\) 次。例如，\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)。
2. 指数函数的定义：形如 \(f(x) = a^x\) 的函数称为指数函数，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)。指数函数的图像是一条光滑曲线，其特点是当 \(x\) 趋向于正无穷时，函数值无限增大；而当 \(x\) 趋向于负无穷时，函数值无限接近于零。
二、练习题
1. 基础计算题
(1) 计算：\(5^3 \times 5^4\)
解答：根据幂的运算法则 \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)，所以 \(5^3 \times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7 = 78125\)。
(2) 化简：\(\frac{2^6}{2^2}\)
解答：同样利用幂的运算法则 \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)，因此 \(\frac{2^6}{2^2} = 2^{6-2} = 2^4 = 16\)。
2. 函数性质分析
已知函数 \(f(x) = 3^x\)，判断以下说法是否正确：
(1) \(f(x)\) 在定义域内单调递增；
(2) 当 \(x < 0\) 时，\(f(x) > 1\)。
解答：
(1) 正确。因为底数 \(3 > 1\)，根据指数函数的性质，当底数大于 1 时，函数在定义域内是单调递增的。
(2) 错误。当 \(x < 0\) 时，\(f(x) = 3^x\) 的值小于 1，因为任何大于 1 的底数的负次幂都会得到一个小于 1 的结果。
3. 实际问题应用
某物质的半衰期为 10 年，若初始质量为 100 克，请问经过 30 年后该物质的质量是多少？
解答：半衰期意味着每过 10 年，物质的质量会减半。经过 30 年即经历了 3 个半衰期，因此质量变为 \(100 \times (\frac{1}{2})^3 = 100 \times \frac{1}{8} = 12.5\) 克。
三、总结
通过以上练习题，我们可以看到指数与指数函数的应用范围非常广泛，从简单的数值运算到复杂的实际问题解决，都需要我们熟练掌握相关知识。希望这些题目能够帮助大家巩固所学内容，提高解题能力。在学习过程中，建议多做练习，总结规律，这样才能够真正掌握这一部分内容。
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