在工程设计中，热应力是一个非常重要的考量因素。它通常发生在温度变化较大的情况下，材料因热胀冷缩而产生内应力。这种应力如果不加以控制，可能会导致结构变形甚至损坏。下面通过一个具体的例子来说明如何进行热应力的分析。
假设我们有一个钢制圆筒，其内径为D1=50mm，外径为D2=100mm，在室温（20°C）下装配到另一个直径略大的圆筒内。当这个钢制圆筒被加热到T2=400°C时，会发生热膨胀。已知钢材的线膨胀系数α=12×10^-6/°C，弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。
首先，我们需要计算由于温度升高引起的自由膨胀量。对于圆环来说，自由膨胀量可以表示为：
δf = α(T2-T1) D1
将已知数值代入公式得到：
δf = 12×10^-6 × (400-20) × 50 = 0.228 mm
然而，在实际应用中，由于外部约束的存在，圆筒并不能完全自由地膨胀。因此，会产生残余应力。为了计算这些残余应力，我们可以使用以下步骤：
1. 确定接触压力Pc
2. 计算内侧和外侧的径向应力
3. 根据径向应力确定切向应力
第一步是确定接触压力Pc。这可以通过假设定点和初始接触面之间的摩擦系数来估算。设摩擦系数μ=0.15，则接触压力Pc可近似表示为：
Pc ≈ E / (1+ν) × δf / R
其中R=(D1+D2)/2为平均半径。代入数据后得到：
Pc ≈ 200×10^9 / (1+0.3) × 0.228×10^-3 / ((50+100)/2) ≈ 7.6 MPa
接下来计算内侧和外侧的径向应力σr。径向应力由两部分组成：一部分来自接触压力Pc，另一部分则来自于材料本身的弹性特性。径向应力的表达式为：
σr = Pc - (Pc / G) × (r^2 / R^2)
这里G=E/[2(1+ν)]为剪切模量，r为当前考虑位置的半径。分别对内侧(r=D1/2)和外侧(r=D2/2)进行计算：
对于内侧：
σr_inner = 7.6 - (7.6 / 117.6) × (25^2 / 75^2) ≈ 7.4 MPa
对于外侧：
σr_outer = 7.6 - (7.6 / 117.6) × (50^2 / 75^2) ≈ 7.1 MPa
最后一步是根据径向应力确定切向应力σθ。切向应力与径向应力的关系遵循胡克定律，并且考虑到平面应变条件下的修正因子，最终得到：
σθ = σr + ν × (σr - σz)
其中σz为轴向应力，在本例中由于是对称结构，可以认为σz≈0。因此简化后的公式为：
σθ = σr × (1+ν)
将内侧和外侧的径向应力代入上述公式即可求得相应的切向应力值。
通过以上分析可以看出，在给定条件下，该钢制圆筒在加热过程中会产生一定的热应力。虽然这些应力不会立即导致结构失效，但长期作用下可能会影响使用寿命。因此，在实际设计时必须充分考虑这些因素并采取适当措施以减小潜在风险。例如可以通过选择合适的材料、优化几何形状或增加冷却系统等方式来降低工作温度范围内的温差，从而减少热应力的影响。
