在数学学习中，解二元一次方程组是一项基础而重要的技能。其中，“加减消元法”是一种常用的解题方法，它通过将两个方程相加或相减，消除其中一个未知数，从而简化问题，最终求出未知数的具体值。本文将结合具体例题，详细讲解如何运用加减消元法来解决二元一次方程组。
一、什么是加减消元法？
加减消元法的核心思想是利用等式的性质，通过对两个方程进行适当的运算（如相加或相减），使得其中一个未知数的系数相同或相反，进而实现消元的目的。这种方法适用于系数较为简单的二元一次方程组。
例如：
若方程组为：
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \\
2x - y = 3
\end{cases}
\]
我们可以通过调整方程的系数，使某个未知数的系数相等或互为相反数，然后进行加减运算以消去该未知数。
二、例题解析
例题1
解下列方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
4x - 3y = 5
\end{cases}
\]
分析：观察到第二个方程中的 \(-3y\) 和第一个方程中的 \(3y\) 是互为相反数的关系，因此可以直接将两式相加，消去 \(y\)。
解答：
\[
(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5
\]
\[
6x = 12
\]
\[
x = 2
\]
接下来，将 \(x = 2\) 代入任一方程求解 \(y\)。选择第一个方程：
\[
2(2) + 3y = 7
\]
\[
4 + 3y = 7
\]
\[
3y = 3
\]
\[
y = 1
\]
因此，方程组的解为：
\[
(x, y) = (2, 1)
\]
例题2
解下列方程组：
\[
\begin{cases}
5x - 2y = 9 \\
3x + 4y = 11
\end{cases}
\]
分析：为了消去 \(y\)，需要使两个方程中 \(y\) 的系数相同或互为相反数。这里可以将第一个方程乘以 2，使得 \(y\) 的系数变为 \(-4\) 和 \(4\)。
解答：
首先，将第一个方程乘以 2：
\[
2(5x - 2y) = 2(9)
\]
\[
10x - 4y = 18
\]
现在方程组变为：
\[
\begin{cases}
10x - 4y = 18 \\
3x + 4y = 11
\end{cases}
\]
将两式相加，消去 \(y\)：
\[
(10x - 4y) + (3x + 4y) = 18 + 11
\]
\[
13x = 29
\]
\[
x = \frac{29}{13}
\]
将 \(x = \frac{29}{13}\) 代入第二个方程求解 \(y\)：
\[
3\left(\frac{29}{13}\right) + 4y = 11
\]
\[
\frac{87}{13} + 4y = 11
\]
\[
4y = 11 - \frac{87}{13}
\]
\[
4y = \frac{143}{13} - \frac{87}{13}
\]
\[
4y = \frac{56}{13}
\]
\[
y = \frac{56}{52} = \frac{14}{13}
\]
因此，方程组的解为：
\[
(x, y) = \left(\frac{29}{13}, \frac{14}{13}\right)
\]
三、练习题
1. 解方程组：
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]
2. 解方程组：
\[
\begin{cases}
4x - 3y = 10 \\
2x + 3y = 8
\end{cases}
\]
3. 解方程组：
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 7 \\
6x - 4y = 14
\end{cases}
\]
通过以上例题和练习，我们可以熟练掌握加减消元法的应用技巧。希望同学们在实际解题中能够灵活运用这一方法，提高解题效率！
