在数学与运筹学中，排队论（Queuing Theory）是研究等待系统行为的一种重要工具。它广泛应用于交通工程、通信网络、生产制造以及服务行业等领域。排队论的核心在于通过分析到达和服务过程的概率分布来优化资源分配和提高效率。以下是一些排队论中的主要公式。
首先，我们需要了解一些基本符号：
- λ：单位时间内顾客到达的平均速率。
- μ：单位时间内服务台能够处理的顾客数量。
- ρ = λ / μ：系统的利用率，表示服务台被占用的比例。
接下来是几个关键公式：
1. 泊松到达过程：
假设顾客到达遵循泊松分布，则单位时间内到达k个顾客的概率为：
\[
P_k = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}
\]
其中 \(t\) 是时间间隔。
2. 指数服务时间：
如果服务时间服从指数分布，则平均服务时间为 \(1/\mu\)。
3. 单服务台模型 (M/M/1)：
- 系统中至少有一个顾客的概率：
\[
P(\text{至少一个顾客}) = 1 - P_0
\]
其中 \(P_0\) 是系统为空的概率。
- 平均等待时间（包括服务时间）：
\[
W = \frac{1}{\mu - \lambda}
\]
4. 多服务台模型 (M/M/c)：
当有多个服务台时，系统状态更加复杂。可以使用 Erlang-C 公式计算概率 \(P_n\)，即系统中有n个顾客的概率。
5. 系统稳定性条件：
对于任何排队系统而言，为了保证系统的稳定性，必须满足：
\[
\rho = \frac{\lambda}{c\mu} < 1
\]
这里 \(c\) 表示服务台的数量。
这些公式构成了排队论的基础框架，并且可以根据具体应用场景进行扩展和调整。通过合理应用这些理论，我们可以有效改善各种实际场景下的服务质量与效率。
