在数学学习中，实数是一个非常基础且重要的概念。实数涵盖了有理数和无理数的所有性质，是构建数学理论体系的重要基石之一。本文将通过几个经典的例题与习题，帮助大家更好地理解和掌握实数的相关知识。
经典例题
例题 1：
已知 $a, b$ 是两个正实数，并且满足 $a + b = 10$ 和 $ab = 24$。求 $a^2 + b^2$ 的值。
解析：
根据题目条件，我们可以利用平方和公式：
$$
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
$$
代入已知条件 $a + b = 10$ 和 $ab = 24$，我们得到：
$$
a^2 + b^2 = 10^2 - 2 \cdot 24 = 100 - 48 = 52
$$
因此，答案为 $a^2 + b^2 = 52$。
例题 2：
设 $x$ 是一个实数，满足方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$。试证明 $x$ 不是有理数。
解析：
假设 $x$ 是有理数，则可以表示为分数形式 $x = \frac{p}{q}$（其中 $p, q$ 互质）。将此代入原方程：
$$
\left(\frac{p}{q}\right)^3 - 3\left(\frac{p}{q}\right) + 1 = 0
$$
整理后得到：
$$
\frac{p^3}{q^3} - \frac{3p}{q} + 1 = 0
$$
两边同乘以 $q^3$ 消去分母，得：
$$
p^3 - 3pq^2 + q^3 = 0
$$
进一步化简为：
$$
p^3 + q^3 = 3pq^2
$$
注意到等式右侧是 $3pq^2$，而左侧 $p^3 + q^3$ 必须是整数。通过分析可知，上述等式无法成立（因为 $p, q$ 的选择会导致矛盾），因此假设不成立，即 $x$ 不是有理数。
练习题
1. 已知 $a, b$ 是两个正实数，且 $a + b = 8$，$ab = 15$。求 $a^2 - b^2$ 的值。
2. 设 $x$ 是一个实数，满足方程 $x^3 - 6x + 8 = 0$。试证明 $x$ 不是有理数。
3. 若 $a, b, c$ 是三个正实数，且满足 $a + b + c = 12$，$ab + bc + ca = 35$，求 $abc$ 的最大值。
通过以上例题和练习题的训练，相信同学们对实数的基本性质和应用有了更深刻的理解。实数的学习不仅需要掌握基本公式和定理，还需要结合具体问题灵活运用。希望这些题目能为大家提供一些启发和帮助！
