在大学的学习过程中，概率论与数理统计是一门非常重要的基础课程，它不仅帮助我们理解随机现象背后的规律，还为后续的专业学习打下坚实的基础。为了检验大家对这门课程的理解程度，学校通常会在学期末安排一次期末考试。下面我们就一起来看看一些常见的概率论与数理统计期末考试题目及其解答。
选择题
1. 设事件A和B相互独立，且P(A) = 0.4, P(B) = 0.5，则P(A ∩ B)等于多少？
A. 0.2
B. 0.4
C. 0.5
D. 0.9
正确答案是 A。因为事件A和B相互独立，所以有P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2。
2. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，若P(X > μ + σ) = 0.16，则P(X < μ - σ)等于多少？
A. 0.16
B. 0.32
C. 0.68
D. 0.84
正确答案是 A。根据正态分布的对称性，P(X > μ + σ) = P(X < μ - σ) = 0.16。
填空题
1. 若随机变量X服从泊松分布P(λ)，则其期望E(X) = __________。
答案是 λ。泊松分布的期望值等于其参数λ。
2. 在假设检验中，如果原假设为真但被拒绝，则称为犯了__________错误。
答案是 第一类错误。第一类错误是指在原假设为真的情况下错误地拒绝了原假设。
解答题
1. 某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从正态分布N(50, 4)，现从该厂随机抽取一个零件，求其长度在48毫米到52毫米之间的概率。
解：已知X ~ N(50, 4)，即μ = 50，σ = 2。我们需要计算P(48 ≤ X ≤ 52)。
首先将X标准化为标准正态分布Z：
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
当X = 48时，Z = (48 - 50) / 2 = -1；
当X = 52时，Z = (52 - 50) / 2 = 1。
因此，P(48 ≤ X ≤ 52) = P(-1 ≤ Z ≤ 1)。查表可得P(Z ≤ 1) = 0.8413，P(Z ≤ -1) = 1 - P(Z ≤ 1) = 0.1587。
所以，P(-1 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。
最终答案为 0.6826。
2. 某班级共有50名学生，其中男生30人，女生20人。从中随机抽取两名学生，求至少有一名女生的概率。
解：设事件A表示“至少有一名女生”，则其对立事件为“两名都是男生”。
P(两名都是男生) = C(30, 2) / C(50, 2) = (30 × 29) / (50 × 49) = 870 / 2450 ≈ 0.3551。
因此，P(A) = 1 - P(两名都是男生) = 1 - 0.3551 = 0.6449。
最终答案为 0.6449。
以上就是一些典型的概率论与数理统计期末考试题目及其解答。希望同学们能够通过这些题目更好地掌握相关知识，并在考试中取得好成绩！
