在高中阶段，数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的影响。而高一数学必修一则是整个高中数学学习的起点，内容涵盖集合、函数、基本初等函数、指数与对数等内容。为了帮助同学们更好地掌握知识点，下面将提供一份高一数学必修一的模拟试卷，并附上详细的参考答案与解析。
一、选择题（每小题4分，共20分）
1. 设集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，集合 $ B = \{2, 3, 4\} $，则 $ A \cap B $ 是（ ）
A. $ \{1, 2, 3\} $
B. $ \{2, 3\} $
C. $ \{3, 4\} $
D. $ \{1, 2, 3, 4\} $
2. 函数 $ f(x) = x^2 + 1 $ 的定义域是（ ）
A. $ (-\infty, 0) $
B. $ (0, +\infty) $
C. $ \mathbb{R} $
D. $ [1, +\infty) $
3. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 下列函数中，是偶函数的是（ ）
A. $ f(x) = x^3 $
B. $ f(x) = x^2 + 1 $
C. $ f(x) = 2x $
D. $ f(x) = \sin x $
5. 若 $ a > 0 $，且 $ a^{\frac{1}{2}} = 4 $，则 $ a $ 等于（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. 集合 $ \{x | x < 3\} $ 用区间表示为 ________。
7. 若 $ f(x) = 2x + 1 $，则 $ f(2) = $ ________。
8. $ \lg 100 = $ ________。
9. 函数 $ y = \sqrt{x - 1} $ 的定义域为 ________。
10. 已知 $ \log_3 a = 2 $，则 $ a = $ ________。
三、解答题（共60分）
11. （10分）设全集 $ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $，集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，集合 $ B = \{3, 4, 5\} $，求：
（1）$ A \cup B $；
（2）$ A \cap B $；
（3）$ \complement_U A $。
12. （10分）已知函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 3 $，求：
（1）该函数的最小值；
（2）当 $ x = 2 $ 时，函数的值。
13. （10分）计算下列各式的值：
（1）$ \log_5 25 $；
（2）$ \ln e^3 $；
（3）$ \sqrt[3]{-8} $。
14. （10分）已知函数 $ f(x) = \log_2 (x + 1) $，求其定义域，并判断该函数是否为奇函数或偶函数。
15. （20分）已知函数 $ f(x) = 2^x $，求：
（1）函数的图像大致形状；
（2）若 $ f(a) = 8 $，求 $ a $ 的值；
（3）比较 $ f(2) $ 和 $ f(3) $ 的大小关系，并说明理由。
四、参考答案
一、选择题
1. B
2. C
3. C
4. B
5. D
二、填空题
6. $ (-\infty, 3) $
7. 5
8. 2
9. $ [1, +\infty) $
10. 9
三、解答题
11.
（1）$ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} $
（2）$ A \cap B = \{3\} $
（3）$ \complement_U A = \{4, 5, 6\} $
12.
（1）最小值为 2
（2）$ f(2) = 3 $
13.
（1）2
（2）3
（3）-2
14.
定义域为 $ (-1, +\infty) $，不是奇函数也不是偶函数。
15.
（1）图像为指数增长曲线
（2）$ a = 3 $
（3）$ f(3) > f(2) $，因为底数大于1，指数越大函数值越大。
通过这份试卷的练习，可以帮助学生巩固高一数学必修一的重要知识点，提升解题能力和应试技巧。建议在考试前多做类似题目，加强对函数、集合、对数等核心概念的理解与运用。
