【信号与系统试题附答案】在电子工程、通信工程以及自动化等相关专业中，“信号与系统”是一门非常重要的基础课程。它研究的是信号的表示、分析与处理，以及系统对这些信号的响应。为了帮助学生更好地掌握这门课程的核心内容，以下是一份精心整理的“信号与系统试题附答案”，旨在检验学习成果并提升理解能力。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列哪种信号属于能量信号？
A. 正弦波
B. 阶跃函数
C. 指数衰减信号
D. 周期性方波
答案：C
2. 系统的因果性是指：
A. 输出只依赖于当前和过去的输入
B. 输出只依赖于未来的输入
C. 输出与输入无关
D. 输出与系统初始状态有关
答案：A
3. 若一个系统的单位冲激响应为 $ h(t) = e^{-t}u(t) $，则该系统是：
A. 因果且稳定
B. 非因果但稳定
C. 因果但不稳定
D. 非因果且不稳定
答案：A
4. 傅里叶变换的收敛条件是：
A. 信号绝对可积
B. 信号平方可积
C. 信号连续可导
D. 信号周期性
答案：A
5. 对于一个线性时不变系统，若输入为 $ x(t) $，输出为 $ y(t) $，则其频率响应 $ H(j\omega) $ 是：
A. 输入信号的傅里叶变换
B. 输出信号的傅里叶变换
C. 输入与输出傅里叶变换的比值
D. 系统的单位冲激响应的傅里叶变换
答案：C 和 D
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 单位阶跃函数 $ u(t) $ 的拉普拉斯变换为 ________。
答案：$ \frac{1}{s} $
2. 若一个系统的传递函数为 $ H(s) = \frac{1}{s+2} $，则其极点为 ________。
答案：-2
3. 一个信号 $ x(t) $ 的傅里叶变换为 $ X(j\omega) $，则 $ x(-t) $ 的傅里叶变换为 ________。
答案：$ X(-j\omega) $
4. 离散时间系统中，单位脉冲响应为 $ h[n] $，则系统是否稳定取决于 ________。
答案：$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty $
5. 在离散系统中，Z变换的收敛域不包括 ________。
答案：极点
三、简答题（每题10分，共30分）
1. 什么是线性时不变系统？请简要说明其特性。
答：
线性时不变系统（LTI系统）是指同时满足线性和时不变性的系统。
- 线性性：系统满足叠加原理，即输入为两个信号之和时，输出也为对应的输出之和；输入乘以常数时，输出也乘以该常数。
- 时不变性：系统的参数不随时间变化，输入信号延迟后，输出信号也相应延迟，但形状不变。
2. 举例说明什么是因果系统，并解释其意义。
答：
因果系统是指系统的输出仅依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。例如，一个简单的RC电路就是一个因果系统，因为它的输出电压只能由当前或过去输入的电流决定，而不会受到未来输入的影响。因果性在实际系统中非常重要，因为它保证了系统可以实时响应输入信号，避免了对未来信息的依赖。
3. 说明傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别与联系。
答：
- 傅里叶变换适用于分析稳定信号的频域特性，主要关注信号的频率成分，适用于非指数增长的信号。
- 拉普拉斯变换则扩展了傅里叶变换，适用于更广泛的信号，包括指数增长或衰减的信号。
- 当拉普拉斯变换的虚部为零时，拉普拉斯变换就退化为傅里叶变换。因此，傅里叶变换是拉普拉斯变换在复平面实轴上的特例。
四、计算题（每题15分，共30分）
1. 已知某系统的单位冲激响应为 $ h(t) = e^{-t}u(t) $，输入信号为 $ x(t) = u(t) $，求系统的输出 $ y(t) $。
解：
输出 $ y(t) = x(t) h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t - \tau) d\tau $
由于 $ x(t) = u(t) $，所以积分限变为 $ 0 $ 到 $ t $：
$$
y(t) = \int_{0}^{t} e^{-(t - \tau)} d\tau = e^{-t} \int_{0}^{t} e^{\tau} d\tau = e^{-t}(e^t - 1) = 1 - e^{-t}
$$
答案： $ y(t) = (1 - e^{-t})u(t) $
2. 求信号 $ x(t) = e^{-2|t|} $ 的傅里叶变换。
解：
$$
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|t|} e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{0} e^{2t} e^{-j\omega t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-j\omega t} dt
$$
分别计算两部分：
$$
\int_{-\infty}^{0} e^{(2 - j\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{(2 - j\omega)t}}{2 - j\omega} \right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{2 - j\omega}
$$
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-(2 + j\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{-(2 + j\omega)t}}{-(2 + j\omega)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2 + j\omega}
$$
所以：
$$
X(j\omega) = \frac{1}{2 - j\omega} + \frac{1}{2 + j\omega} = \frac{(2 + j\omega) + (2 - j\omega)}{(2 - j\omega)(2 + j\omega)} = \frac{4}{4 + \omega^2}
$$
答案： $ X(j\omega) = \frac{4}{4 + \omega^2} $
五、综合题（15分）
设一个系统由微分方程描述如下：
$$
\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t)
$$
1. 求该系统的传递函数 $ H(s) $。
2. 说明该系统是否稳定。
3. 若输入为 $ x(t) = e^{-t}u(t) $，求输出 $ y(t) $。
解答：
1. 对微分方程两边取拉普拉斯变换，假设初始条件为零：
$$
s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = X(s)
$$
所以：
$$
H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}
$$
2. 极点为 $ s = -1 $ 和 $ s = -2 $，均位于左半平面，因此系统是稳定的。
3. 输入 $ x(t) = e^{-t}u(t) $ 的拉普拉斯变换为 $ X(s) = \frac{1}{s + 1} $。
所以：
$$
Y(s) = H(s)X(s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} \cdot \frac{1}{s + 1} = \frac{1}{(s + 1)^2(s + 2)}
$$
使用部分分式分解：
$$
Y(s) = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{(s + 1)^2} + \frac{C}{s + 2}
$$
解得：
$ A = -1 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $
所以：
$$
y(t) = (-e^{-t} + te^{-t} + e^{-2t})u(t)
$$
答案：
1. $ H(s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} $
2. 系统稳定
3. $ y(t) = (-e^{-t} + te^{-t} + e^{-2t})u(t) $
通过这份试题与答案的练习，可以帮助学生深入理解信号与系统的理论知识，并提升分析和解决问题的能力。希望本试题能够成为学习过程中的有力辅助工具。
