【平面直角坐标系典型例题含标准答案】在初中数学中，平面直角坐标系是一个重要的基础知识点，它不仅贯穿于函数、几何等章节，还为后续学习解析几何打下坚实的基础。掌握好平面直角坐标系的相关知识，有助于提高学生的空间想象能力和数形结合的思维能力。以下是一些典型的例题及其详细解答，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、选择题
例题1：
点 $ A(2, -3) $ 在第（ ）象限。
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
解析：
平面直角坐标系分为四个象限：
- 第一象限：$ x > 0 $，$ y > 0 $
- 第二象限：$ x < 0 $，$ y > 0 $
- 第三象限：$ x < 0 $，$ y < 0 $
- 第四象限：$ x > 0 $，$ y < 0 $
点 $ A(2, -3) $ 的横坐标为正，纵坐标为负，因此位于第四象限。
答案：D
例题2：
点 $ B(-5, 4) $ 关于原点对称的点是（ ）。
A. $ (5, 4) $
B. $ (-5, -4) $
C. $ (5, -4) $
D. $ (-5, 4) $
解析：
关于原点对称的点，其坐标是原坐标的相反数。即若点 $ P(x, y) $，则其关于原点对称的点为 $ (-x, -y) $。
点 $ B(-5, 4) $ 关于原点对称的点为 $ (5, -4) $。
答案：C
二、填空题
例题3：
点 $ C(3, 7) $ 到 x 轴的距离是 ________，到 y 轴的距离是 ________。
解析：
点到 x 轴的距离是该点纵坐标的绝对值；
点到 y 轴的距离是该点横坐标的绝对值。
所以，点 $ C(3, 7) $ 到 x 轴的距离为 $ |7| = 7 $，到 y 轴的距离为 $ |3| = 3 $。
答案：7，3
例题4：
已知点 $ D(a, b) $ 在第二象限，且满足 $ a + b = 0 $，则 $ a $ 和 $ b $ 的符号分别为 ________。
解析：
第二象限的点满足 $ a < 0 $，$ b > 0 $。
又因为 $ a + b = 0 $，即 $ a = -b $，说明 $ a $ 与 $ b $ 互为相反数。
由于 $ a < 0 $，则 $ b = -a > 0 $，符合第二象限的条件。
答案：负，正
三、解答题
例题5：
已知点 $ E(1, 2) $、$ F(-3, 4) $、$ G(2, -1) $，求三角形 $ EFG $ 的面积。
解析：
可以使用坐标法计算三角形的面积，公式如下：
$$
S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
$$
代入点 $ E(1, 2) $、$ F(-3, 4) $、$ G(2, -1) $：
$$
S = \frac{1}{2} |1(4 - (-1)) + (-3)(-1 - 2) + 2(2 - 4)| \\
= \frac{1}{2} |1 \times 5 + (-3) \times (-3) + 2 \times (-2)| \\
= \frac{1}{2} |5 + 9 - 4| = \frac{1}{2} \times 10 = 5
$$
答案：5 平方单位
例题6：
已知点 $ H(x, y) $ 在直线 $ y = 2x + 1 $ 上，并且到原点的距离为 $ \sqrt{5} $，求点 $ H $ 的坐标。
解析：
由题意，点 $ H(x, y) $ 满足两个条件：
1. $ y = 2x + 1 $
2. $ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5} $，即 $ x^2 + y^2 = 5 $
将 $ y = 2x + 1 $ 代入第二个方程：
$$
x^2 + (2x + 1)^2 = 5 \\
x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 5 \\
5x^2 + 4x + 1 - 5 = 0 \\
5x^2 + 4x - 4 = 0
$$
解这个二次方程：
$$
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 80}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5}
$$
对应的 $ y $ 值为：
当 $ x = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5} $ 时，$ y = 2x + 1 = \frac{-4 + 4\sqrt{6}}{5} + 1 = \frac{1 + 4\sqrt{6}}{5} $
当 $ x = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5} $ 时，$ y = \frac{1 - 4\sqrt{6}}{5} $
答案：点 $ H $ 的坐标为 $ \left( \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5}, \frac{1 + 4\sqrt{6}}{5} \right) $ 或 $ \left( \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5}, \frac{1 - 4\sqrt{6}}{5} \right) $
总结
通过以上例题的练习，可以帮助学生加深对平面直角坐标系的理解，包括点的位置判断、对称性、距离计算以及图形面积的求解。建议学生在学习过程中多动手画图、验证公式，逐步提升自己的数学素养和解题能力。
