俩向量相乘的公式是

【俩向量相乘的公式是】在数学中，向量之间的“相乘”并不是简单的数值相乘，而是根据不同的乘法方式，有不同的计算公式和结果。常见的向量乘法有两种：点积（内积） 和 叉积（外积）。下面将分别介绍它们的定义、公式以及应用场景。

一、点积（内积）

点积是一种将两个向量转化为一个标量的运算方式，常用于计算两个向量之间的夹角或投影。

定义：

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则它们的点积为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

几何意义：

点积也可以表示为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。

应用场景：

- 计算力对物体的做功

- 判断向量方向关系（正交、同向、反向）

- 在机器学习中用于相似度计算

二、叉积（外积）

叉积是一种只在三维空间中定义的向量乘法，其结果是一个与原向量垂直的新向量。

定义：

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的叉积为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

几何意义：

叉积的结果向量长度为 $\vec{a}\vec{b}\sin\theta$，方向由右手定则决定。

应用场景：

- 计算旋转力矩（如物理学中的力矩）

- 计算平面的法向量

- 图形学中用于判断方向

三、总结对比表

向量乘法类型	定义方式	结果类型	公式表达	几何意义	应用场景
点积	对应分量相乘后求和	标量	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots$	两向量夹角的余弦值	功、投影、相似度
叉积	通过行列式计算	向量	$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, ...)$	垂直于两向量的向量	力矩、法向量、方向判断

四、结语

向量相乘并非单一的运算方式，点积和叉积各有其适用范围和物理意义。理解它们的区别有助于在不同领域（如物理、工程、计算机图形学等）中更准确地应用这些数学工具。掌握这些基本概念，能够帮助我们在实际问题中更好地分析和解决相关问题。

以上就是【俩向量相乘的公式是】相关内容，希望对您有所帮助。