欧拉方程怎么解

【欧拉方程怎么解】欧拉方程是微分方程中一类重要的方程，常出现在物理、工程和数学建模中。它通常指的是形如 $ x^n y^{(n)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = 0 $ 的线性微分方程，其中系数为常数，变量为 $ x $。这类方程在形式上与常系数线性微分方程类似，但变量替换后可转化为常系数形式，便于求解。

欧拉方程的解法总结

步骤	内容
1. 变量替换	令 $ x = e^t $ 或 $ t = \ln x $，将原方程转换为关于 $ t $ 的常系数线性微分方程。
2. 转换后的方程	原方程变为 $ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_0 y = 0 $，其中导数均以 $ t $ 为自变量。
3. 特征方程求解	设特征方程为 $ r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 $，求其根 $ r_1, r_2, \ldots, r_n $。
4. 根的类型决定通解形式	- 实根：$ e^{r_i t} $ - 复根：$ e^{\alpha t} (\cos\beta t + \sin\beta t) $ - 重根：乘以 $ t^k $
5. 回代变量	将 $ t = \ln x $ 代入，得到关于 $ x $ 的通解。

示例说明

假设我们有如下欧拉方程：

$$

x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0

$$

步骤一：变量替换

令 $ x = e^t $，则 $ t = \ln x $，利用链式法则，可以将原方程转化为关于 $ t $ 的方程。

步骤二：计算导数

通过变换，原方程变为：

$$

y'' - 4y' + 4y = 0

$$

步骤三：求特征方程

特征方程为：

$$

r^2 - 4r + 4 = 0

$$

解得：

$$

r = 2 \quad (\text{重根})

$$

步骤四：写出通解

由于是重根，通解为：

$$

y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{2t}

$$

步骤五：回代变量

将 $ t = \ln x $ 代入，得到：

$$

y(x) = (C_1 + C_2 \ln x)x^2

$$

总结

欧拉方程的求解过程主要包括变量替换、特征方程求解、根的分析以及最终的通解表达。掌握这一方法，能够有效解决一系列具有幂函数系数的微分方程问题。实际应用中，还需注意边界条件或初始条件的代入，以确定特解。

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