模长计算公式

【模长计算公式】在数学和物理中，模长（也称为绝对值或向量的长度）是一个非常重要的概念，广泛应用于几何、向量分析、复数运算等领域。模长表示一个数或向量的大小，不考虑其方向。本文将总结常见的模长计算公式，并以表格形式进行展示，帮助读者快速理解和应用。

一、实数的模长

对于实数 $ a $，其模长即为其绝对值，记作 $ a $，计算公式如下：

$$

a =

\begin{cases}

a, & \text{当 } a \geq 0 \\

-a, & \text{当 } a < 0

\end{cases}

$$

二、向量的模长

对于二维或三维空间中的向量，模长是该向量的长度。设向量为 $ \vec{v} = (x, y) $ 或 $ \vec{v} = (x, y, z) $，则其模长计算公式如下：

1. 二维向量

$$

\vec{v} = \sqrt{x^2 + y^2}

$$

2. 三维向量

$$

\vec{v} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

$$

三、复数的模长

复数 $ z = a + bi $ 的模长（或绝对值）表示其在复平面上到原点的距离，计算公式为：

$$

z = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

四、矩阵的模长（范数）

矩阵的模长通常指的是矩阵的范数，常见的有以下几种：

范数类型	定义	公式
1-范数	列和的最大值	$ \	A\	_1 = \max_j \sum_{i=1}^n	a_{ij}	$
2-范数	最大奇异值	$ \	A\	_2 = \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^T A)} $
∞-范数	行和的最大值	$ \	A\	_\infty = \max_i \sum_{j=1}^n	a_{ij}	$
Frobenius 范数	所有元素平方和的平方根	$ \	A\	_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m	a_{ij}	^2} $

五、函数的模长（L² 模）

在函数空间中，函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的 L² 模定义为：

$$

\f\_2 = \sqrt{\int_a^b f(x)^2 dx}

$$

总结表格

类型	定义	公式
实数	绝对值	$	a	$
二维向量	向量长度	$ \sqrt{x^2 + y^2} $
三维向量	向量长度	$ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $
复数	复数的绝对值	$ \sqrt{a^2 + b^2} $
矩阵 1-范数	列和最大值	$ \max_j \sum_i	a_{ij}	$
矩阵 2-范数	最大奇异值	$ \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^T A)} $
矩阵 ∞-范数	行和最大值	$ \max_i \sum_j	a_{ij}	$
矩阵 Frobenius 范数	元素平方和的平方根	$ \sqrt{\sum_{i,j}	a_{ij}	^2} $
函数 L² 模	积分平方根	$ \sqrt{\int_a^b	f(x)	^2 dx} $

通过以上内容可以看出，模长的计算方式因对象不同而有所差异，但其核心思想都是衡量“大小”或“距离”。掌握这些公式有助于在数学、物理、工程等多领域中更准确地进行分析与计算。

以上就是【模长计算公式】相关内容，希望对您有所帮助。