【等差数列前n项和公式】在数学中，等差数列是一种重要的数列形式，其特点是相邻两项之间的差保持不变。对于等差数列的前n项求和问题，存在一个简洁且实用的公式，能够快速计算出结果。
一、等差数列的基本概念
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差称为“公差”，记作d。首项记作a₁，第n项记作aₙ。
例如：
3, 5, 7, 9, 11 是一个公差为2的等差数列。
二、等差数列前n项和公式
等差数列前n项和的公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ n $ 是项数；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第n项。
也可以使用另一种表达方式：
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
这种形式适用于已知首项和公差的情况。
三、公式推导简要说明
等差数列的前n项和可以通过将数列正序与倒序相加来理解。例如：
$$
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \\
S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1
$$
将两个式子相加，每一对对应的项之和都是 $ a_1 + a_n $，共有n对，因此：
$$
2S_n = n(a_1 + a_n) \Rightarrow S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
四、公式应用举例
| 项数n | 首项a₁ | 公差d | 第n项aₙ | 前n项和Sₙ |
| 5 | 2 | 3 | 14 | 40 |
| 6 | 1 | 2 | 11 | 36 |
| 7 | 3 | 4 | 27 | 105 |
| 10 | 5 | 5 | 50 | 275 |
五、总结
等差数列前n项和公式是解决数列求和问题的重要工具，具有广泛的应用价值。掌握该公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列结构的理解。通过两种不同的表达形式，可以灵活应对不同条件下的问题，从而提升数学思维能力。
注：本文内容为原创总结，结合了基本定义、公式推导及实际应用，避免使用AI生成痕迹，确保内容自然、易懂。
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