【数学期望的十大公式】数学期望是概率论与数理统计中的一个核心概念，广泛应用于各个领域，如金融、工程、计算机科学等。它描述的是随机变量在大量重复实验中取值的平均趋势。以下是数学期望的十大常用公式，结合理论与实际应用进行总结。
一、数学期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
对于连续型随机变量，数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
二、线性性质
数学期望具有线性性质，即对任意常数 $ a, b $ 和随机变量 $ X, Y $，有：
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
三、离散型分布的期望
| 分布名称 | 概率质量函数 | 数学期望 |
| 伯努利分布 | $ P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
四、连续型分布的期望
| 分布名称 | 概率密度函数 | 数学期望 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ E(X) = \frac{a+b}{2} $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x > 0 $ | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
| 伽马分布 | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $ | $ E(X) = \frac{\alpha}{\beta} $ |
五、条件期望
设 $ Y $ 是另一个随机变量，则条件期望 $ E(X
$$
E(E(X
$$
六、协方差与相关系数
协方差公式：
$$
\text{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))
$$
相关系数公式：
$$
\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}
$$
七、期望的乘积公式（独立情况下）
若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
八、期望的平方与方差的关系
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
九、期望的递推公式（如几何分布）
对于几何分布 $ X \sim \text{Geo}(p) $，其期望可由递推方式求得：
$$
E(X) = 1 + (1-p)E(X)
$$
解得：$ E(X) = \frac{1}{p} $
十、期望的无偏性
在统计估计中，若估计量 $ \hat{\theta} $ 满足：
$$
E(\hat{\theta}) = \theta
$$
则称 $ \hat{\theta} $ 为 $ \theta $ 的无偏估计。
总结表格
| 序号 | 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |
| 1 | 数学期望定义 | $ E(X) = \sum x_i p_i $ 或 $ \int x f(x) dx $ | 离散/连续型随机变量的期望 | |
| 2 | 线性性质 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | 线性组合的期望等于期望的线性组合 | |
| 3 | 伯努利分布 | $ E(X) = p $ | 成功概率为 $ p $ 的二值变量 | |
| 4 | 二项分布 | $ E(X) = np $ | $ n $ 次独立试验的成功次数 | |
| 5 | 泊松分布 | $ E(X) = \lambda $ | 描述事件发生次数的分布 | |
| 6 | 均匀分布 | $ E(X) = \frac{a+b}{2} $ | 在区间 $ [a,b] $ 上均匀分布的期望 | |
| 7 | 条件期望 | $ E(E(X | Y)) = E(X) $ | 期望的“全期望”性质 |
| 8 | 协方差公式 | $ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个变量的相关性 | |
| 9 | 独立变量乘积期望 | $ E(XY) = E(X)E(Y) $ | 当 $ X $ 与 $ Y $ 独立时成立 | |
| 10 | 期望无偏性 | $ E(\hat{\theta}) = \theta $ | 统计估计量的无偏性标准 |
通过掌握这些公式，可以更深入地理解随机变量的行为，并在实际问题中进行有效的建模与分析。数学期望不仅是理论研究的基础，也是数据分析和决策支持的重要工具。
以上就是【数学期望的十大公式】相关内容，希望对您有所帮助。
