【所有正余弦公式】在三角函数的学习中，正弦和余弦是最基础、最常用的两个函数。它们不仅在数学中广泛应用，在物理、工程、计算机图形学等领域也起着重要作用。为了帮助学习者更好地掌握这些公式，本文将系统地总结常见的正余弦公式，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本公式
正弦（sin）和余弦（cos）是三角函数中最基本的两个函数，定义如下：
- sinθ = 对边 / 斜边
- cosθ = 邻边 / 斜边
它们的值域为 [-1, 1]，周期为 $2\pi$，且具有奇偶性：
- sin(-θ) = -sinθ（奇函数）
- cos(-θ) = cosθ（偶函数）
二、诱导公式（角度转换）
当角度发生变化时，正弦和余弦的值也会相应变化。以下是常见的诱导公式：
| 角度变换 | sin(θ) 变换 | cos(θ) 变换 |
| π/2 - θ | cosθ | sinθ |
| π/2 + θ | -cosθ | -sinθ |
| π - θ | sinθ | -cosθ |
| π + θ | -sinθ | -cosθ |
| 3π/2 - θ | -cosθ | -sinθ |
| 3π/2 + θ | cosθ | -sinθ |
三、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的正弦和余弦值：
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
四、倍角公式
用于计算角度的两倍的正弦和余弦：
| 公式 | 表达式 |
| sin(2A) | 2sinAcosA |
| cos(2A) | cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A |
五、半角公式
用于计算角度的一半的正弦和余弦：
| 公式 | 表达式 |
| sin(A/2) | ±√[(1 - cosA)/2] |
| cos(A/2) | ±√[(1 + cosA)/2] |
符号由角度所在的象限决定。
六、积化和差与和差化积公式
这些公式常用于简化三角表达式：
积化和差：
| 公式 | 表达式 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAsinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
和差化积：
| 公式 | 表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
七、反三角函数中的正余弦关系
在反三角函数中，正弦和余弦之间也存在一些关系：
- arcsin(x) + arccos(x) = π/2
- sin(arccos(x)) = √(1 - x²)
- cos(arcsin(x)) = √(1 - x²)
八、三角恒等式总结表
| 类型 | 公式 |
| 基本关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 倒数关系 | cscθ = 1/sinθ, secθ = 1/cosθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 周期性 | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| 奇偶性 | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
结语
正余弦公式是三角函数体系的核心内容，掌握这些公式不仅可以帮助解决复杂的三角问题，还能提高对数学规律的理解能力。通过不断练习和应用，可以更熟练地运用这些公式进行计算与推导。希望本文能够为学习者提供一份清晰、系统的参考材料。
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