【关于三角函数的所有公式】三角函数是数学中非常重要的一类函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它们主要研究角度与边长之间的关系，常见的有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，以及它们的倒数函数和一些重要的恒等式。
以下是对三角函数所有常见公式的总结，包括基本定义、基本恒等式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式等，以文字加表格的形式呈现。
一、基本定义
在直角三角形中，设一个锐角为θ，则：
| 函数名称 | 定义 |
| 正弦（sinθ） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cosθ） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tanθ） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cotθ） | 邻边 / 对边 |
| 正割（secθ） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（cscθ） | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
| 公式 | 说明 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 基本恒等式 |
| tan²θ + 1 = sec²θ | 由基本恒等式推导 |
| cot²θ + 1 = csc²θ | 同上 |
| tanθ = sinθ / cosθ | 正切定义 |
| cotθ = cosθ / sinθ | 余切定义 |
| secθ = 1 / cosθ | 正割定义 |
| cscθ = 1 / sinθ | 余割定义 |
三、诱导公式（角度与单位圆的关系）
| 角度变化 | 公式 |
| sin(-θ) = -sinθ | 奇函数性质 |
| cos(-θ) = cosθ | 偶函数性质 |
| tan(-θ) = -tanθ | 奇函数性质 |
| sin(π/2 - θ) = cosθ | 余角关系 |
| cos(π/2 - θ) = sinθ | 余角关系 |
| sin(π - θ) = sinθ | 对称性 |
| cos(π - θ) = -cosθ | 对称性 |
| sin(π + θ) = -sinθ | 对称性 |
| cos(π + θ) = -cosθ | 对称性 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 和差角公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 和差角公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 和差角公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| sin2θ = 2sinθ cosθ | 二倍角公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 二倍角公式 |
| tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) | 二倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 半角公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 半角公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) | 半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 | 积化和差 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | 积化和差 |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | 积化和差 |
| cosA sinB = [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 | 积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 和差化积 |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | 和差化积 |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 和差化积 |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | 和差化积 |
九、其他重要公式
| 公式 | 说明 |
| arcsin(x) + arccos(x) = π/2 | 反函数关系 |
| arctan(x) + arccot(x) = π/2 | 反函数关系 |
| tan(arcsin(x)) = x / √(1 - x²) | 反函数转换 |
| sin(arctan(x)) = x / √(1 + x²) | 反函数转换 |
以上是关于三角函数的所有常用公式，涵盖了从基本定义到复杂变换的各个方面。掌握这些公式有助于解决各种三角问题，提升解题效率。建议在学习过程中结合图形理解，并通过练习加深记忆。
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