【可去间断点的定义】在数学分析中，函数的连续性是一个非常重要的概念。当函数在某一点处不连续时，我们称之为“间断点”。根据间断点的不同性质，可以将其分为多种类型，其中“可去间断点”是较为常见的一种。
可去间断点指的是：函数在某一点处没有定义，或者虽然有定义，但函数值与该点的极限不相等，但如果对函数在该点的定义进行适当修改，就可以使函数在该点变得连续。这种类型的间断点可以通过“填补”来消除，因此称为“可去间断点”。
可去间断点的定义总结：
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 函数在某一点处不连续，但可通过重新定义该点的函数值使其连续。 |
| 特征 | 函数在该点无定义，或函数值不等于极限值。 |
| 解决方法 | 修改该点的函数值，使其等于极限值。 |
| 数学表达 | 若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，但 $f(a)$ 不存在或 $f(a) \neq L$，则 $x=a$ 是可去间断点。 |
| 是否可修复 | 是，通过调整函数值即可修复。 |
示例说明：
考虑函数：
$$
f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}
$$
这个函数在 $x=1$ 处是没有定义的，因为分母为零。但我们可以通过因式分解简化函数：
$$
f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1)
$$
此时，$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$。如果我们将 $f(1)$ 定义为 2，那么函数在 $x=1$ 处就变得连续了。因此，$x=1$ 是一个可去间断点。
小结：
可去间断点是一种可以通过调整函数值来消除的不连续现象。理解这一概念有助于我们在处理函数图像、极限计算以及连续性判断时更加准确。在实际应用中，如物理建模或工程计算中，识别并修正可去间断点是非常重要的步骤。
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