【二次函数求最值公式】在数学学习中，二次函数是一个重要的知识点，尤其是在初中和高中阶段。二次函数的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $ 决定了抛物线的开口方向和宽窄，而顶点则是函数的最大值或最小值所在的位置。
对于二次函数来说，其图像是一个抛物线，当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，此时函数有最大值。因此，二次函数的最值问题本质上就是求它的顶点坐标。
一、二次函数的最值公式
二次函数的最值可以通过以下公式直接求得：
- 顶点横坐标（即极值点）：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
- 顶点纵坐标（即最值）：
$$
y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = \frac{4ac - b^2}{4a}
$$
如果 $ a > 0 $，则该值为最小值；如果 $ a < 0 $，则该值为最大值。
二、不同情况下的最值总结
| 情况 | 函数形式 | 最值类型 | 最值计算公式 | 备注 |
| 1 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 最小值 | $ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $ | 当 $ a > 0 $ 时成立 |
| 2 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 最大值 | $ y = \frac{4ac - b^2}{4a} $ | 当 $ a < 0 $ 时成立 |
| 3 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | 最值 | $ y = k $ | 顶点为 $ (h, k) $，$ a > 0 $ 时为最小值，$ a < 0 $ 时为最大值 |
三、实际应用举例
例1：求函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $ 的最小值。
- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- 代入原式：$ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 $
结论：该函数的最小值为 -1。
例2：求函数 $ y = -3x^2 + 6x - 2 $ 的最大值。
- $ a = -3 $, $ b = 6 $, $ c = -2 $
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{6}{2 \times (-3)} = 1 $
- 代入原式：$ y = -3(1)^2 + 6(1) - 2 = -3 + 6 - 2 = 1 $
结论：该函数的最大值为 1。
四、总结
二次函数的最值问题是数学中的常见题型，掌握其顶点公式是解题的关键。通过公式可以直接求出函数的最值，无需复杂的图像分析或求导过程。在实际应用中，这一方法可以快速判断函数的极值，并用于优化问题、物理运动分析等领域。
通过表格的形式，我们可以清晰地看到不同情况下二次函数的最值类型及对应的计算方式，便于记忆与应用。
以上就是【二次函数求最值公式】相关内容，希望对您有所帮助。
