叉乘坐标公式推导

【叉乘坐标公式推导】在数学和物理中，叉乘（向量积）是一种重要的运算，用于计算两个向量之间的垂直分量。其结果是一个与原两向量都垂直的向量，常用于求解面积、力矩、磁场等实际问题。本文将对叉乘的坐标公式进行详细推导，并通过表格形式总结关键步骤。

一、叉乘的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘 a × b 是一个向量，其方向由右手定则决定，大小为 absinθ（θ 为两向量夹角）。叉乘的结果具有以下性质：

- 与 a 和 b 都垂直；

- 满足反交换律：a × b = -b × a；

- 若 a 与 b 共线，则 a × b = 0。

二、叉乘的坐标公式推导

我们可以通过行列式的方式推导叉乘的坐标表达式。

1. 基向量表示法

设 i、j、k 分别为 x、y、z 轴的单位向量，则向量 a 和 b 可以表示为：

- a = a₁i + a₂j + a₃k

- b = b₁i + b₂j + b₃k

叉乘的定义为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开该行列式，得到：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\mathbf{i}(a_2b_3 - a_3b_2) -

\mathbf{j}(a_1b_3 - a_3b_1) +

\mathbf{k}(a_1b_2 - a_2b_1)

$$

因此，叉乘的坐标形式为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

三、叉乘坐标的最终表达式

根据上述推导，可以得出叉乘的坐标公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2,\quad a_3b_1 - a_1b_3,\quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

四、关键公式总结表

步骤	内容说明
1	设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)
2	利用基向量 i, j, k 表示向量 a 和 b
3	构造行列式：$\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$
4	展开行列式，分别计算 i、j、k 的系数
5	得到叉乘的坐标表达式：$ (a_2b_3 - a_3b_2,\quad a_3b_1 - a_1b_3,\quad a_1b_2 - a_2b_1) $

五、应用实例

假设 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

- 第一坐标：2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3

- 第二坐标：3×4 - 1×6 = 12 - 6 = 6

- 第三坐标：1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3

所以，a × b = (-3, 6, -3)

六、总结

叉乘的坐标公式是通过对基向量的行列式展开而得来的，其本质是计算两个向量所形成的平行四边形面积的矢量形式。通过本推导过程，我们可以清晰地理解叉乘的几何意义和代数表达方式。掌握这一公式对于后续学习三维空间中的物理、工程、计算机图形学等内容具有重要意义。

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