【向量积公式】向量积（又称叉积）是向量代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和数学中。它用于计算两个向量之间的垂直方向上的“强度”，并且结果是一个新的向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所构成的平行四边形面积。
一、向量积的基本定义
设两个三维向量分别为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
它们的向量积记作：
$$
\vec{a} \times \vec{b}
$$
向量积的结果是一个向量，其分量为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \, a_3b_1 - a_1b_3, \, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
也可以用行列式形式表示为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
其中 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 是单位向量。
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 3. 零向量 | 若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ | ||||||
| 4. 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 | |
| 5. 垂直性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 均垂直 |
三、向量积的应用
| 应用领域 | 具体应用 |
| 物理 | 力矩、磁力、角动量等计算 |
| 工程 | 结构分析、旋转运动研究 |
| 数学 | 计算平面法向量、空间几何问题 |
| 计算机图形学 | 算法中用于判断方向、生成法线向量 |
四、示例计算
已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求 $\vec{a} \times \vec{b}$。
根据公式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)
= (12 - 15, \, 12 - 6, \, 5 - 8)
= (-3, 6, -3)
$$
五、总结
向量积是一种重要的向量运算方式，能够帮助我们找到两个向量所形成的平面的法向量，并且在多个学科中有着广泛的应用。掌握其公式和性质有助于更好地理解空间几何关系和物理现象。通过表格形式对关键点进行归纳，可以更清晰地把握其核心内容。
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