在数学学习中，绝对值是一个非常重要的概念，它不仅出现在代数运算中，还贯穿于函数、方程和不等式的各类题目里。掌握绝对值的基本性质和化简技巧，对于提高解题效率至关重要。本篇内容将通过一系列精心设计的练习题，帮助大家巩固绝对值的相关知识，并提供详细的答案解析。
一、基础知识回顾
绝对值的定义是：一个数到原点的距离，记作 |x|。其性质包括：
1. 非负性：|x| ≥ 0；
2. 对称性：|-x| = |x|；
3. 三角不等式：|x + y| ≤ |x| + |y|。
这些性质为后续的计算与化简提供了理论依据。
二、专项练习题
练习题1：
已知 |a - 2| = 4，求 a 的所有可能值。
解析：
根据绝对值的定义，|a - 2| = 4 表示 a - 2 到 0 的距离为 4。因此：
\[ a - 2 = 4 \quad \text{或} \quad a - 2 = -4 \]
解得：
\[ a = 6 \quad \text{或} \quad a = -2 \]
答案：\[ a = 6 \quad \text{或} \quad a = -2 \]
练习题2：
化简表达式：\[ |x + 3| - |x - 3| \]
解析：
需要分区间讨论 x 的取值范围。
1. 当 \( x \geq 3 \) 时，\( |x + 3| = x + 3 \)，\( |x - 3| = x - 3 \)，化简得：
\[ |x + 3| - |x - 3| = (x + 3) - (x - 3) = 6 \]
2. 当 \( -3 < x < 3 \) 时，\( |x + 3| = x + 3 \)，\( |x - 3| = -(x - 3) \)，化简得：
\[ |x + 3| - |x - 3| = (x + 3) - (-(x - 3)) = 2x \]
3. 当 \( x \leq -3 \) 时，\( |x + 3| = -(x + 3) \)，\( |x - 3| = -(x - 3) \)，化简得：
\[ |x + 3| - |x - 3| = (-(x + 3)) - (-(x - 3)) = -6 \]
综合以上结果，化简后的表达式为：
\[
|x + 3| - |x - 3| =
\begin{cases}
6, & x \geq 3; \\
2x, & -3 < x < 3; \\
-6, & x \leq -3.
\end{cases}
\]
答案：分段函数形式。
练习题3：
若 |x - 1| + |x + 2| = 5，求 x 的取值范围。
解析：
这是一个典型的分段讨论问题。令 \( f(x) = |x - 1| + |x + 2| \)，分析不同区间的取值情况：
1. 当 \( x \geq 1 \) 时，\( |x - 1| = x - 1 \)，\( |x + 2| = x + 2 \)，则：
\[ f(x) = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1 \]
解 \( 2x + 1 = 5 \)，得 \( x = 2 \)。
2. 当 \( -2 < x < 1 \) 时，\( |x - 1| = -(x - 1) \)，\( |x + 2| = x + 2 \)，则：
\[ f(x) = (-(x - 1)) + (x + 2) = 3 \]
此时 \( f(x) = 5 \) 不成立。
3. 当 \( x \leq -2 \) 时，\( |x - 1| = -(x - 1) \)，\( |x + 2| = -(x + 2) \)，则：
\[ f(x) = (-(x - 1)) + (-(x + 2)) = -2x - 1 \]
解 \( -2x - 1 = 5 \)，得 \( x = -3 \)。
综上所述，x 的取值范围为 \([-3, 2]\)。
答案：\[ x \in [-3, 2] \]
三、总结
通过上述练习题，我们可以看到，绝对值的计算与化简往往需要结合分类讨论的思想。熟练掌握这一方法，不仅能解决具体的数学问题，还能培养逻辑推理能力。希望这些题目能够帮助大家更好地理解和运用绝对值的概念！
（本文内容由人工智能辅助生成，旨在促进学习交流，如有疑问，请进一步探讨。）
