在八年级的数学学习中，整式的乘除与因式分解是一个重要的知识点，它不仅帮助我们更好地理解代数表达式的基本运算规则，还为后续更复杂的数学学习打下坚实的基础。为了帮助同学们巩固这一部分内容，以下是一份精心挑选的练习题及其详细解答，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题
1. 计算：
$ (2x + 3)(x - 4) $
2. 化简：
$ 5a^2b \cdot 3ab^2 $
3. 分解因式：
$ x^2 - 9 $
4. 求值：
已知 $ a = 2 $，$ b = -1 $，计算 $ (a + b)^2 - (a - b)^2 $
二、综合练习题
5. 计算并化简：
$ (x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 $
6. 分解因式：
$ 4x^2 - 12xy + 9y^2 $
7. 解方程：
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
8. 已知 $ m^2 - n^2 = 15 $，且 $ m + n = 5 $，求 $ m $ 和 $ n $ 的值。
三、答案解析
1. 计算：$ (2x + 3)(x - 4) $
利用多项式乘法公式展开：
$$
(2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12
$$
2. 化简：$ 5a^2b \cdot 3ab^2 $
按照幂的运算法则计算：
$$
5a^2b \cdot 3ab^2 = (5 \cdot 3)(a^{2+1})(b^{1+2}) = 15a^3b^3
$$
3. 分解因式：$ x^2 - 9 $
这是一个平方差公式：
$$
x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
$$
4. 求值：已知 $ a = 2 $，$ b = -1 $，计算 $ (a + b)^2 - (a - b)^2 $
利用平方差公式：
$$
(a + b)^2 - (a - b)^2 = [(a + b) + (a - b)][(a + b) - (a - b)] = (2a)(2b) = 4ab
$$
代入 $ a = 2 $，$ b = -1 $：
$$
4ab = 4 \cdot 2 \cdot (-1) = -8
$$
5. 计算并化简：$ (x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 $
利用平方差公式：
$$
(x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 = [(x + 2y) + (x - 2y)][(x + 2y) - (x - 2y)] = (2x)(4y) = 8xy
$$
6. 分解因式：$ 4x^2 - 12xy + 9y^2 $
这是一个完全平方公式：
$$
4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2
$$
7. 解方程：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
利用因式分解法：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
$$
因此，$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $。
8. 已知 $ m^2 - n^2 = 15 $，且 $ m + n = 5 $，求 $ m $ 和 $ n $ 的值。
利用平方差公式和已知条件：
$$
m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 15
$$
代入 $ m + n = 5 $：
$$
5(m - n) = 15 \implies m - n = 3
$$
联立方程组：
$$
\begin{cases}
m + n = 5 \\
m - n = 3
\end{cases}
$$
解得 $ m = 4 $，$ n = 1 $。
通过以上练习题的训练，相信同学们对整式的乘除与因式分解有了更深刻的理解。希望这些题目能够帮助大家在考试中取得更好的成绩！如果还有疑问，欢迎随时提问哦！
