在概率论与数理统计的学习过程中，中心极限定理是一个非常重要的理论基础。它揭示了大量独立随机变量之和的分布会趋向于正态分布这一规律。为了更好地理解和掌握这一概念，我们可以通过一些习题来加深理解。
首先，让我们来看一个简单的例子。假设有一组独立同分布的随机变量X₁, X₂, ..., Xₙ，每个变量都服从均值为μ，方差为σ²的分布。根据中心极限定理，当n足够大时，这些随机变量之和（或平均值）的分布将接近于正态分布N(nμ, nσ²)。
接下来，我们来看一道具体的习题：
例题：某工厂生产零件，其长度服从均值为50mm，标准差为2mm的正态分布。从该工厂随机抽取100个零件进行测量，求这100个零件长度的平均值落在49.8mm到50.2mm之间的概率。
解答步骤如下：
1. 确定总体参数：μ=50mm，σ=2mm。
2. 根据中心极限定理，样本均值的期望为μ'=μ=50mm，标准差为σ'=σ/√n=2/√100=0.2mm。
3. 将问题转化为标准正态分布问题：计算P(49.8≤X̄≤50.2)，其中X̄表示样本均值。
4. 使用标准正态分布表查找对应Z值：Z₁=(49.8-50)/0.2=-1，Z₂=(50.2-50)/0.2=1。
5. 查找标准正态分布表得到概率值：P(Z₁≤Z≤Z₂)=Φ(1)-Φ(-1)，其中Φ表示标准正态分布函数。
6. 结果：P(49.8≤X̄≤50.2)≈0.6827。
通过这样的习题练习，我们可以更加直观地感受到中心极限定理的实际应用价值。希望同学们能够多加练习，巩固所学知识。
