在数学领域中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数在某一点上的变化率。掌握导数的计算方法对于解决各种实际问题至关重要。接下来，我们通过一些具体的习题来加深对导数的理解和应用。
习题一：基本函数的导数
求以下函数的导数：
1. \(f(x) = x^3 - 4x + 7\)
2. \(g(x) = e^{2x}\)
3. \(h(x) = \ln(x^2 + 1)\)
解答：
1. 根据幂函数求导法则，\(f'(x) = 3x^2 - 4\)
2. 对于指数函数，使用链式法则，\(g'(x) = 2e^{2x}\)
3. 对数函数的导数需要结合链式法则，\(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
习题二：复合函数的导数
求下列复合函数的导数：
1. \(y = (x^2 + 1)^3\)
2. \(z = \sin(x^2)\)
解答：
1. 使用链式法则，\(y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2\)
2. 同样利用链式法则，\(z' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)\)
习题三：隐函数的导数
给定方程 \(x^2 + y^2 = 25\)，求 \(y'\)。
解答：
对方程两边同时对 \(x\) 求导，得到：
\[2x + 2yy' = 0\]
解得 \(y' = -\frac{x}{y}\)
以上就是几个典型的导数计算习题及其解答。熟练掌握这些基本技巧，能够帮助我们在更复杂的数学问题中游刃有余。希望这些练习能帮助你更好地理解导数的概念和应用。继续努力，数学的世界等着你去探索！
