【正态分布及其经典习题和答案】在统计学中，正态分布是一种非常重要的概率分布模型，广泛应用于自然科学、社会科学、工程学等多个领域。它也被称为高斯分布，因其在自然界中普遍存在而被广泛应用。本文将对正态分布的基本概念进行简要介绍，并结合一些经典的例题和解答，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的统计学知识。
一、正态分布的基本概念
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数（PDF）形式如下：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ \mu $ 是均值（期望），表示分布的中心位置；
- $ \sigma $ 是标准差，表示数据的离散程度；
- $ \pi $ 和 $ e $ 是数学常数。
正态分布具有以下特点：
- 图像呈钟形曲线，对称于均值；
- 均值、中位数和众数三者相等；
- 在均值两侧各一个标准差范围内，约有68%的数据；两个标准差内约为95%，三个标准差内约为99.7%（即“68-95-99.7”规则）。
二、标准正态分布
当正态分布的均值为0，标准差为1时，称为标准正态分布，记作 $ Z \sim N(0,1) $。许多实际问题可以通过标准化转换为标准正态分布来处理。
对于任意正态变量 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，可以将其标准化为：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
此时 $ Z \sim N(0,1) $，便于查表或使用计算器求解概率。
三、经典例题与解析
例题1：
某地区居民身高服从正态分布，平均身高为170cm，标准差为6cm。求身高在164cm到176cm之间的概率。
解：
设身高 $ X \sim N(170, 6^2) $，要求的是 $ P(164 < X < 176) $。
首先进行标准化：
$$
Z_1 = \frac{164 - 170}{6} = -1 \\
Z_2 = \frac{176 - 170}{6} = 1
$$
所以：
$$
P(164 < X < 176) = P(-1 < Z < 1)
$$
根据标准正态分布表或计算公式：
$$
P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
$$
答： 身高在164cm到176cm之间的概率约为68.26%。
例题2：
某校学生考试成绩服从正态分布，平均分为70分，标准差为10分。若学校规定前5%的学生获得优秀等级，问优秀等级的最低分数是多少？
解：
设成绩 $ X \sim N(70, 10^2) $，要求的是 $ P(X > x) = 0.05 $，即 $ x $ 对应的右尾概率为5%。
查标准正态分布表可知，$ P(Z > z) = 0.05 $ 对应的 $ z = 1.645 $。
因此：
$$
\frac{x - 70}{10} = 1.645 \Rightarrow x = 70 + 1.645 \times 10 = 86.45
$$
答： 优秀等级的最低分数约为86.45分，取整后为87分。
四、总结
正态分布在统计学中占据核心地位，其应用广泛且理论基础扎实。通过理解正态分布的性质、掌握标准化方法以及熟练运用标准正态分布表，可以解决大量实际问题。本文通过对正态分布的基本概念、标准正态分布及经典例题的讲解，希望对读者有所帮助，进一步提升在实际问题中应用正态分布的能力。
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如需更多相关练习题或深入分析，欢迎继续学习与探讨。
