【年金现值终值公式推导】在金融数学中，年金是指在一定时期内定期支付或收取的等额资金。根据支付时间的不同，年金可分为普通年金（期末支付）和期初年金（期初支付）。为了计算这些年金的现值和终值，需要掌握其对应的数学公式，并理解其推导过程。
以下是对年金现值与终值公式的总结，并通过表格形式展示其核心内容。
一、年金现值公式推导
定义： 年金现值（PV）是指未来一系列等额支付的资金在当前时点的价值总和。
普通年金现值公式：
$$
PV = PMT \times \left( \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \right)
$$
其中：
- $ PV $：现值
- $ PMT $：每期支付金额
- $ r $：每期利率
- $ n $：支付期数
推导思路：
将每期的支付金额折现到当前时点，然后求和：
$$
PV = PMT \times \left( \frac{1}{(1 + r)} + \frac{1}{(1 + r)^2} + \cdots + \frac{1}{(1 + r)^n} \right)
$$
这是一个等比数列，首项为 $ \frac{1}{(1 + r)} $，公比为 $ \frac{1}{(1 + r)} $，共 $ n $ 项，因此：
$$
PV = PMT \times \left( \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \right)
$$
二、年金终值公式推导
定义： 年金终值（FV）是指未来一系列等额支付资金在最后一期末的价值总和。
普通年金终值公式：
$$
FV = PMT \times \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right)
$$
推导思路：
将每期的支付金额复利计算到最后一期末，然后求和：
$$
FV = PMT \times \left( (1 + r)^{n-1} + (1 + r)^{n-2} + \cdots + (1 + r)^0 \right)
$$
同样是一个等比数列，首项为 $ (1 + r)^{n-1} $，公比为 $ (1 + r) $，共 $ n $ 项，因此：
$$
FV = PMT \times \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right)
$$
三、期初年金与期末年金的区别
期初年金（即付年金）的支付发生在每期开始时，而期末年金则发生在每期结束时。因此，期初年金的现值和终值分别比期末年金高一个利息周期。
期初年金现值公式：
$$
PV_{\text{期初}} = PMT \times \left( \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \right) \times (1 + r)
$$
期初年金终值公式：
$$
FV_{\text{期初}} = PMT \times \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right) \times (1 + r)
$$
四、总结对比表
| 类型 | 公式 | 特点说明 |
| 普通年金现值 | $ PV = PMT \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} $ | 支付发生在期末 |
| 普通年金终值 | $ FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} $ | 收益发生在期末 |
| 期初年金现值 | $ PV = PMT \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \times (1 + r) $ | 支付发生在期初，价值更高 |
| 期初年金终值 | $ FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \times (1 + r) $ | 收益发生在期初，价值更高 |
五、结语
年金现值与终值的计算是金融分析中的基础工具，广泛应用于贷款、投资、退休规划等领域。通过对公式进行推导，可以更深入地理解其背后的数学逻辑，从而在实际应用中做出更准确的财务决策。
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