向量坐标相乘公式

【向量坐标相乘公式】在向量运算中，向量的“相乘”通常指的是点积（内积）或叉积（外积）。不同的乘法方式适用于不同的应用场景，本文将总结这两种常见的向量乘法公式，并以表格形式展示其计算方法和特点。

一、点积（内积）

点积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个标量。点积常用于计算两个向量之间的夹角、投影长度等。

公式：

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，向量 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的点积为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

也可以表示为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中，$\theta$ 是两向量之间的夹角。

二、叉积（外积）

叉积是两个三维向量之间的一种乘法运算，结果是一个向量，该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。

公式：

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，向量 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则它们的叉积为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

即：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)

$$

叉积的结果向量方向由右手定则确定。

三、总结对比

向量乘法类型	运算结果	公式表达	特点说明
点积（内积）	标量	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$	表示向量间的夹角关系，可用于投影计算
叉积（外积）	向量	$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$	结果垂直于原向量，方向由右手定则决定

通过以上内容可以看出，向量的坐标相乘公式在不同场景下有不同的应用方式。理解这些公式有助于更深入地掌握向量运算的基本原理和实际应用。

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