【伴随矩阵的公式】在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjugate Matrix）是一个重要的概念，尤其在求逆矩阵时具有关键作用。伴随矩阵不仅与原矩阵的行列式有关，还与其代数余子式密切相关。本文将对伴随矩阵的定义、计算方法及相关公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、伴随矩阵的定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其伴随矩阵（或称为古典伴随矩阵）记作 $ \text{adj}(A) $，是由 $ A $ 的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置。
具体来说，伴随矩阵的第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素为 $ A_{ji} $，其中 $ A_{ji} $ 是 $ A $ 中元素 $ a_{ji} $ 的代数余子式。
二、伴随矩阵的计算公式
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，则：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}
$$
其中，$ A_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式。
三、伴随矩阵的性质
| 性质 | 描述 |
| 1 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n $ |
| 2 | 若 $ A $ 可逆，则 $ \text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1} $ |
| 3 | $ \text{adj}(A^T) = (\text{adj}(A))^T $ |
| 4 | $ \text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A) $ |
| 5 | 若 $ A $ 是奇异矩阵（即 $ \det(A) = 0 $），则 $ \text{adj}(A) $ 也为奇异矩阵 |
四、伴随矩阵的计算步骤
1. 计算每个元素的代数余子式 $ A_{ij} $。
2. 构造余子式矩阵，即把所有 $ A_{ij} $ 按照原位置排列。
3. 转置该矩阵，得到伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $。
五、示例（以 2×2 矩阵为例）
设矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$
则其伴随矩阵为：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
$$
六、总结表格
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 由代数余子式构成并转置的矩阵 |
| 计算方式 | 逐个计算代数余子式，再转置 |
| 关键公式 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n $ |
| 应用 | 求逆矩阵、判断矩阵是否可逆 |
| 特例（2×2） | $ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $ |
通过以上内容可以看出，伴随矩阵是理解矩阵运算和逆矩阵求解的重要工具。掌握其定义和计算方法，有助于更深入地理解线性代数中的核心概念。
