等比数列公式有哪些

【等比数列公式有哪些】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。在学习等比数列时，掌握相关的公式是非常重要的。本文将对等比数列的主要公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。

一、基本概念

- 首项（a）：数列的第一个数。

- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。

- 第n项（aₙ）：数列中的第n个元素。

- 前n项和（Sₙ）：从首项到第n项的总和。

二、常用公式总结

公式名称	公式表达式	说明
第n项公式	$ a_n = a \cdot r^{n-1} $	用于计算数列中的任意一项
前n项和公式	$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $	当 $ r \neq 1 $ 时适用
当 $ r = 1 $ 时	$ S_n = a \cdot n $	所有项都相等，直接相加即可
无穷等比数列和	$ S = \frac{a}{1 - r} $	当 $	r	< 1 $ 时成立

三、使用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求：

1. 第5项：

$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

2. 前5项和：

$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $

3. 若 $ r = 0.5 $，则无穷数列和为：

$ S = \frac{2}{1 - 0.5} = 4 $

四、注意事项

- 公比 $ r $ 不等于1，否则数列为常数列，不能使用前n项和的通用公式。

- 当 $ r < 1 $ 时，等比数列的无穷项和才存在。

- 等比数列的应用广泛，如金融中的复利计算、生物学中的种群增长模型等。

通过以上内容，我们可以系统地了解等比数列的基本公式及其应用方法。掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，还能在实际生活中灵活运用。