【方差和期望的公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对这两个概念及其公式的总结。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在大量重复试验中所表现出的平均结果。对于离散型和连续型随机变量，其期望的计算方式有所不同。
1. 离散型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差用于衡量随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的波动性。方差越小，说明数据越集中；方差越大，说明数据越分散。
1. 方差的定义
方差可以表示为随机变量与其期望的平方差的期望：
$$
\text{Var}(X) = E\left[(X - E(X))^2\right
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \right)^2
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) \, dx - \left( \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \right)^2
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
期望和方差是概率统计中不可或缺的工具，它们帮助我们理解随机现象的中心趋势和变异性。掌握这些公式的应用，有助于在实际问题中进行数据分析、风险评估和决策制定。通过表格形式对比不同分布的期望与方差，可以更直观地了解它们的特性，从而提高对概率模型的理解能力。
