【lnsinx的导数是多少】在微积分中，求函数的导数是常见的问题之一。对于函数 $ \ln(\sin x) $，其导数可以通过复合函数的求导法则（即链式法则）来计算。下面将详细总结其导数的推导过程，并以表格形式展示关键步骤。
一、导数推导过程总结
函数 $ y = \ln(\sin x) $ 是一个复合函数，由外层函数 $ \ln(u) $ 和内层函数 $ u = \sin x $ 组成。根据链式法则，导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \ln(u) \cdot \frac{du}{dx}
$$
其中：
- $ \frac{d}{du} \ln(u) = \frac{1}{u} $
- $ \frac{du}{dx} = \cos x $
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x
$$
所以，$ \ln(\sin x) $ 的导数是 $ \cot x $。
二、关键步骤总结表
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 函数为 $ y = \ln(\sin x) $，属于复合函数 |
| 2 | 外层函数为 $ \ln(u) $，内层函数为 $ u = \sin x $ |
| 3 | 对外层函数求导：$ \frac{d}{du} \ln(u) = \frac{1}{u} $ |
| 4 | 对内层函数求导：$ \frac{du}{dx} = \cos x $ |
| 5 | 应用链式法则：$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x $ |
| 6 | 化简得：$ \frac{dy}{dx} = \cot x $ |
三、结论
通过对函数 $ \ln(\sin x) $ 进行链式法则的应用，我们得出其导数为 $ \cot x $。这一结果在三角函数与对数函数结合的微分问题中具有广泛的应用价值。理解并掌握此类导数的求法，有助于提升对复合函数求导技巧的掌握程度。
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