【求高中阶段所有数学期望和方差的公式】在高中数学中，概率与统计是重要的组成部分，其中数学期望和方差是描述随机变量特征的重要数值。掌握这些公式的应用，有助于更好地理解概率分布的特点，并为后续学习打下坚实基础。
以下是对高中阶段常见概率分布的数学期望和方差的总结，以文字说明加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、数学期望（均值）
数学期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势，表示随机变量的“中心位置”。对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
二、方差
方差是衡量随机变量与其数学期望之间偏离程度的指标，反映数据的波动性。方差计算公式为：
$$
D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见概率分布的期望与方差
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ D(X) $ |
| 两点分布（0-1分布） | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k} $, $ k = 0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $, $ k=0,1,...,n $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $, $ k=0,1,2,... $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、注意事项
1. 两点分布 是二项分布的特例（当 $ n = 1 $ 时）。
2. 二项分布 描述的是独立重复试验中成功次数的分布。
3. 泊松分布 适用于稀有事件发生的次数，如电话呼叫次数、交通事故次数等。
4. 均匀分布 和 正态分布 属于连续型随机变量的分布。
5. 在实际问题中，要根据题目条件判断使用哪种分布，并正确代入相应的公式进行计算。
通过以上总结，可以系统地掌握高中阶段常见的数学期望和方差公式，帮助学生在考试或作业中快速准确地解决问题。建议结合具体例题练习，加深对公式的理解和应用能力。
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