【三角函数公式大全整理】在数学学习中，三角函数是一个非常重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅能帮助我们快速解题，还能提升对数学规律的理解能力。本文将系统地整理一些常用的三角函数公式，并以表格形式进行归纳，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ |
其中，$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $，表示点到原点的距离。
二、三角函数的基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $, $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $, $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $, $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差角 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差角 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差角 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2A = 2\sin A \cos A $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} $ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \sin B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ -\frac{1}{2} [\cos(A + B) - \cos(A - B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $ |
结语
以上是三角函数的一些常用公式整理，涵盖了基本定义、关系式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差以及和差化积等主要内容。掌握这些公式有助于我们在解决实际问题时更加灵活和高效。建议结合具体例题进行练习，加深理解与应用能力。
以上就是【三角函数公式大全整理】相关内容，希望对您有所帮助。
