【数学一元二次方程求根公式】在数学中，一元二次方程是最常见的代数方程之一，其标准形式为：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。解这个方程的方法有多种，如因式分解、配方法和求根公式法。而最常用、最直接的方法是使用求根公式，即求根公式的推导与应用。
一、求根公式的推导过程
1. 原方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
2. 移项：
$$
ax^2 + bx = -c
$$
3. 两边同时除以 $ a $：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
4. 配方：
在等式两边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $，使得左边成为完全平方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
5. 左边变为完全平方：
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
6. 开平方：
$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
7. 解出 $ x $：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这就是著名的一元二次方程的求根公式。
二、判别式的作用
在求根公式中，$ \Delta = b^2 - 4ac $ 被称为判别式，它决定了方程的根的性质：
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 |
| $ \Delta > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ \Delta = 0 $ | 有两个相等的实数根（重根） |
| $ \Delta < 0 $ | 没有实数根，有两个共轭复数根 |
三、求根公式的应用示例
| 方程 | 一般形式 | $ a $ | $ b $ | $ c $ | 判别式 $ \Delta $ | 根的值 |
| $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ | $ ax^2 + bx + c = 0 $ | 1 | -5 | 6 | $ (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 1 $ | $ x = \frac{5 \pm 1}{2} = 3, 2 $ |
| $ 2x^2 + 4x + 2 = 0 $ | $ ax^2 + bx + c = 0 $ | 2 | 4 | 2 | $ 4^2 - 4 \times 2 \times 2 = 0 $ | $ x = \frac{-4}{4} = -1 $（重根） |
| $ x^2 + x + 1 = 0 $ | $ ax^2 + bx + c = 0 $ | 1 | 1 | 1 | $ 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 $ | 无实数根，复数根 $ x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} $ |
四、总结
一元二次方程的求根公式是一种通用且高效的解题工具，适用于所有形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程。通过计算判别式 $ \Delta $，可以提前判断方程的根的类型，从而选择合适的解题方法。掌握这一公式，有助于提升数学问题的解决效率，尤其在考试或实际应用中具有重要意义。
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