核心基础公式：y = eˣ，导数 y' = eˣ，也就是自然指数函数求导之后等于自身，这是最基础的公式。如果指数不是单独的 x，是复合函数 u (x)，就要使用链式法则，也就是 y = e^u，导数 y' = e^u・u'，这个复合形式是考试最高频考点，很多同学出错就是忘记乘上内层函数的导数，同时还要区分自然指数 e^u 和普通底数指数 a^x，普通指数函数求导要额外乘以 lna，当底数换成 e 的时候，lne=1，所以系数就消失了，变成 e^u 乘以 u'。

一 基础与复合核心公式

1 基础型

y = eˣ

y' = eˣ

2 复合链式型（重点）

y = e^[u (x)]

y' = e^[u (x)]・u'(x)

例题

y = e^(3x)，u=3x，u'=3

y' = e^(3x)・3 = 3e^(3x)

y = e^(x²)，u=x²，u'=2x

y' = e^(x²) · 2x = 2x e^(x²)

y = e^(-x)，u=-x，u'=-1

y' = -e^(-x)

二 和普通指数函数对比

通用指数函数 y = aˣ

y' = aˣ・lna

当 a=e，lne=1，所以化简得到 y'=eˣ

这个对照可以帮助理解为什么 e 的指数函数这么特殊

三 结合四则运算的拓展

1 乘积求导 y = x・eˣ

(uv)' = u'v + uv'

y' = 1・eˣ + x・eˣ = eˣ(1+x)

2 商求导 y = eˣ /x

y' = (eˣ・x - eˣ・1) /x² = eˣ(x-1)/x²

对照表

解题步骤

第一步 判断是基础 eˣ还是复合指数

第二步 如果指数里面还有 x，立刻启用链式法则，外层导数乘内层导数

第三步 如果是乘除组合，搭配乘积求导或者商求导法则

第四步 最后化简整理表达式

易错重点

第一 不要把幂函数求导和指数函数求导搞混，x^n 是幂函数，e^x 是指数函数，法则不一样

第二 复合函数最容易漏掉内层导数，例如 e^(2x) 不能只写 e^(2x)，必须乘以 2

第三 eˣ的任意阶导数全部等于 eˣ，二阶三阶导数都不变

【常见问题】

问题 1 e 的指数函数求导公式 e 的 kx 次方导数是多少

回答 1 e 的指数函数求导公式，y=e^(kx)，导数等于 k 乘以 e^(kx)，也就是 k e^(kx)。

问题 2 e 的指数函数求导公式 为什么不需要乘 lne

回答 1 e 的指数函数求导公式，普通 a^x 导数是 a^x・lna，底数是 e 的时候 lne=1，所以这个系数等于 1，不需要额外乘 lne。

问题 3 e 的指数函数求导公式 二阶导数还是原来函数吗

回答 1 e 的指数函数求导公式，y=eˣ一阶导数是 eˣ，继续求二阶导数仍然是 eˣ，任意高阶导数都不变。

【免责申明】

本内容为高等数学微积分基础知识点讲解，适用于高数考试学习参考。